A gõz és víz állapotegyletének története

Dr. Rábek Géza

A szerzõ áttekintést ad a gõzerõmûvek tervezéséhez nélkülözhetetlen számításról, a víz és a gõz állapotának számításáról: például nyomásból és hõmérsékletbõl entalpiát, entrópiát és fajtérfogatot. Az olvasó megismerheti a legújabb eljárásokat is.

The author gives an overview about the calculation that is indispensable for the design of steam power plants, i.e. the calculation of the state of the water and the steam. Such calculations are for example calculating the enthalpy, entropy and specific volume from the pressure and the temperature.The author will be informed about the most up-to-date procedures also.

Az elsõ állapotegyenletek

A legelsõ gõztáblázatot német nyelven R. Mollier publikálta a XX század elsõ harmadában, melynek mellékleteként a gõzfázist diagramm formájában is megadta. Róla nevezték el az általa javasolt Mollier-féle h-s, h-p és a T-s diagrammokat, mely közül a h-s diagrammot mai formájában még mind a mai napig a gõztáblázatok mellékleteként adják meg. Változtatás csak annyi, hogy a mértékegységeket a régi mértékrendszerrõl az újra számították át, így pl. a kcal és ata helyett kJ és bar rendszere. A táblázat gõzrészét egy egyszerû állapotegyenlettel számították. Ez az egyenletrendszer Bosnjakovic könyvében [1] megtalálható, és zsebszámítógépeken is nagyon jól használható. A víz állapotegyenletét az akkor ismert számszerû adatok alapján interpolálták.

Az 1952-bõl származó német kiadást [2] a Koch-féle egyszerû, de a Molliertõl származó gõzállapotra vonatkoztató képletét kicsit megváltoztatták, ugyanis a nemzetközileg szabványosított toleranciatáblázat alapján dolgozták fel. Az eltérések minimálisak. A vízre vonatkozó adatokat az elõzõ táblázatokhoz hasonlóan nem képlettel, hanem az ismert adatok interpolációja alapján dolgozták fel.

Az elsõ numerikus állapotegyenlet szükségessége és megjelenése

A fejlõdõ energiatechnikában a számítások elengedhetetlen segédeszközei voltak a gõzre és a vízre vonatkozó állapotegyenletek. Így 1958-ban a berlini AEG turbinagyárában és a frankfurti kutatási központban felszerelésre került egy-egy, akkoriban „nagyteljesítményû” elektronikus számítógép, az IBM 650 típusú mágneses forgódobos computer. A gyár fejlesztési és kísérleti osztályának vezetõje, dr. Joseph J. Böhm professzor elsõként ismerte fel, hogy a számítógép eddig nem ismert lehetõségeket nyújt. Õ bízta meg beosztottját, dr. Helmut Hotest, hogy dolgozzon ki egy programot a feladatra.

Hamarosan kiderült, hogy két probléma megoldása elengedhetetlen: (1) a turbina méretezésénél a gõz- és víz-állapotegyenlet kell, (2) majd egy egyszerû körfolyamat-számító eljárásra van szükség.

Hotes a gyakorlattól eltérõ megoldást választotta és a következõ újításokat, vezette be: nyomás és hõmérséklet függvényében nem a fajtérfogatot, hanem az entalpiát approximálta (módszeresen megközelítette) a Csebysev-féle approximációs eljárással. Ennek a két „mûfogásnak” eredményeképpen sikerült a numerikus számítás hibáját minimálni. Hotes a rábízott feladatokat megoldotta és elkészítette a turbinaméretezési eljárás programját és egy aránylag egyszerû körfolyamatot számító eljárást is. Hotes az általa kidolgozott eljárást beadta, mint doktori disszertációt a Hannoveri Mûegyetemen, sikeresen ledoktorált és eredményeit az irodalomban [3] meg is jelentette.

Megjegyzendõ, hogy az AEG 1959-ben ismert számítógépmodellekre (IBM 704, Siemens 2002, Zuse, Elektrologica stb.) a Hotes-féle gõz- és víz-állapotegyenleteket a szakcégeknek felajánlotta, ez azonban nem talált megfelelõ visszhangra. Egy h-s diagrammot és egy, a víz állapotjelzõit tartalmazó füzetet az AEG publikált a Hotes-féle egyenletek alapján.

Az AEG a Hotes-féle állapotegyenleteket a turbina és körfolyamat számítási programokat sikeresen tovább használta. A turbinára vonatkozó programokat a Turbinagyár, a hõsémaszámító programot pedig a majnafrankfurti Hõerõmûrészlegénél én folytattam tovább. A további munkákban már részt vettem, mint a hõkapcsolási csoport vezetõje. A számos rutinfeladat között az elsõ, komoly speciális feladat a Sonnefeld-féle rekompressziós gõzkörfolymat számítása és elemzése volt, melyet 1959-tõl 1961-ig végeztem el. A számítási eljárás további sikereként elkönyvelhetõ, hogy 1961 elején az RWE megbízta az AEG céget, hogy az akkor ismert nukleáris reaktormodellekre dolgozza ki a kapcsolt turbina és hõséma tervezetet. A Turbinagyár és a Hõerõmûrészleg szakembereibõl alakított munkacsoport mind a két részprogramot sikeresen egyesíttette. Ez a munka rövid két hónap alatt el is készült és a szakkörökben nagy visszhangot keltett. Természetesen már a nagyteljesítményû, a majnafrankfurti Kutatóintézeten éppen felszerelt IBM 7040-es modellt használtuk fel.

Folytatásként a munkacsoport az AEG vezérigazgatóságától megbízást kapott, hogy elõ kellett állítanunk az általánosan használható, minden turbinamodellre és hõkapcsolásra megfelelõ programot, beleértve a részterheléseket is, amely még a mai napig is a KWU/Siemens cégnél is a KRAWAL (KRAftWerkAusLegung: erõmûtervezés) név alatt fut. A kezdeti fázisban a Hotes-féle egyenleteket használtuk fel, késõbb azonban a VDI által, illetve a nemzetközileg szabványosított állapotegyenlet.

További állapotegyenletek fejlesztése

Természetesen a Hotes-féle disszertáció publikálása, valamint az RWE megbízása és a KRAWAL megjelenése a piacon nagy érdeklõdést keltett szakmai körökben és megindult más szakcégeknél is a megfelelõ kutatómunka. Így a Siemens AG erlangeni részlegénél, a Müncheni Mûegyetem Termodinamikai Intézetének vezetése alatt lázas munka indult meg a megfelelõ állapotegyenletek elõállítására. Ennek a munkának a szerzõi voltak többek között F. Mayinger és H. Tratz, Prof. E. Schmidt vezetése alatt. A Müncheni Mûegyetem által kidolgozott gõztáblázat 1963-ban jelent meg [4], mint a hatodik átdolgozott kiadás és azonnali hatállyal a használata kötelezõvé vált a szakmában. A gõzállapot felsõ határa 800°C, a nyomásokra vonatkozóan pedig semmiféle határ nem adatott meg. A vízre vonatkozó adatok 350°C-ig és 300 ata-ig érvényesek. A fenti állapotegyenletnek, éppen úgy, mint az elõzõknek a Hotes-féle megoldástól eltérõen ugyanaz a hibája, hogy a fajtérfogatot közelíti meg, mint alapfüggvényt és az entalpiát a következõ integrál formájában

számítja ki a gõztáblázat szerint. Így a v=f(p,T) hibáját differenciálás és az azt követõ szorzás, a hõmérséklet négyzetével erõsen torzítja, mint erre Hotes rámutatott.

Az 1963-as gõztáblázat felhívta a figyelmet az egyre sürgõsebbé váló problémákra. Ennek következtében erõsen felgyorsult a nemzetközi bizottság munkája és számos nemzeti és egyéni állapotegyenlet rendszert dolgoztak ki és publikáltak. Azonban, a közölt egyenletek mindegyikénél kisebb-nagyobb hibák találhatók, általában a képletek túlságosan komplikáltak.

A jelenlegi állapotegyenletek

1967-ben a Nemzetközi Bizottság egy új állapotegyenletet publikált az IFC–67 kóddal [5]. A víz/gõz-állapotot négy részre bontja, és a nyomást megemeli 1000 bar-ra és a hõmérséklet-tartományt 800°C-ra. Továbbá bevezeti az SI-rendszert, a nemzetközi szabványoknak megfelelõen. Az állapotegyenlet szerzõinek neve ismeretlen, nem publikálták. Azonban a következõ államok bizottságai vettek részt a munkában: Csehszlovákia, Német Szövetségi Köztársaság, Japán, Szovjetunió, Egyesült Királyság és Amerikai Egyesült Államok. A már említett közelítési eljárás hibát kiküszöbölendõ, bevezeti a Gibbs-féle szabad entalpia, illetve a Helmholz-féle szabad energia használatát, melyekbõl a három alapfüggvény: a fajtérfogat, a hõtartalom és az entrópia egyszerû parciális differenciálással, illetve egyszerû aritmetikai mûveletekkel állíthatók elõ. A víz felsõ határa 350°C, a gõz a felsõ határgörbétõl a 350°C-tól, onnan 590°C-ig és 1000 bárig szinte izentrópikusan, továbbá az 1000 bár izotermán 800°C-nál alacsonyabb nyomások irányában érvényes. A 350°C-tól a fenti határig a háromszög alakú területet két zónára osztja, és ezeknek a Gibbs-függvényeit is megadja. Ez az állapotegyenlet-rendszer jól bevált és még asztali számítógépekre is jól programozható.

1997-ben készült el, és szabványosították, az IAPWS–IF97 kóddal jelzett új állapotegyenletet [6]. A különbség az IFC–67 és az új állapotegyenlet között nem nagy, a fizikai elv ugyanaz, csak éppen több numerikus állandót tartalmaz és a képletek is komplikáltabbak. A szerzõk publikáltak néhány adatot, melyben a számítási sebességet kb. háromszorosra becslik az IFC–67-hez viszonyítva, a mérések alapján. A saját méréseim alapján a mért adatok az IFC–67-re vonatkozóan éppen fordítottak: az általam mért idõk az IAPWS–IF97 kontra IFC–67 rendszerek között körülbelül 1,4–1,6-szoros túllépést mutattak.

A jövõ zenéje

A fenti ismeretek alapján megállapítható, hogy a víz/gõz állapotegyenlet-rendszer erõs fejlõdésen ment keresztül az elmúlt négy évtized alatt. Ez a fejlõdés azonban még nem állt meg, a következõ évek új eredményeket fognak hozni. Amennyiben az olvasó további adatokra lesz kíváncsi, úgy a szerzõ szívesen áll rendelkezésre.

Függelék

A fent említett állapotegyenletek közül a Hotes-félét, továbbá az IFC–67 és IAPWS–IF97 egyenletek néhány jellemzõjét az alábbiakban sorolom fel. Megjegyzendõ, hogy az összes esetben a minimális gõzoldali határ általában 0.01...0.061 bártól a növekvõ nyomásig és a megadandó maximális hõmérsékletig érvényes.

Hotes-féle állapotegyenletek

Az alapvetõ egyenlet a gõz és víz entalpiáját adja meg, a fajtérfogatot és az entrópiát ebbõl származtatja le. A gõz alapvetõ egyenlete a dimenziónélküli nyomás negyedik hatványának függvénye, az öt változó pedig a dimenziónélküli abszolút hõmérséklet egyedüli függvénye. Ezekben a hõmérséklet polinomok formájában jelenik meg, maximálisan a hetedik hatványig. A fajtérfogat és az entrópia számítása az alapvetõ termodinamikai összefüggésekbõl történik, amikor is néhány járulékos tagot, melyek az integrálási állandóknak felelnek meg, kell még számításba venni. A folyékony halmazállapot számításához a dimenziónélküli nyomás harmadik, hõmérséklet maximális hatodfokú polinomját használja. A gõz állapotjelzõi számításához 128, a vízhez pedig 105 állandó szükséges. A telítési hõmérsékletet egy tizedfokú polinommal számítja, így összesen 244 állandó tárolása szükséges. A gõzállapot függvénye 300 bar és 5.652 kJ/kg,K entrópiáig érvényes, amikor is a felsõ hõmérséklethatár 700°C, az alsó pedig 30 bar alatt a felsõ határgörbétõl lefelé, a felett pedig a telítési hõmérséklet felett 10°C-nál kezdõdik. Ezen a határon kívül az egyenlet nem használható. A víz állapotegyenlete 0°C és 330°C-ig, továbbá 300 bar határig érvényes. A telítési hõmérséklet a kritikus nyomásig érvényes, maximális hibahatár 0.05°C. Végzetül a Hotes-disszertáció megad egy csomó képletet, mellyel a nedves gõz állapotát, továbbá inverz függvényeket (T=f(p,h), T=f(p,s), illetve (p,T) = f(h,s) kapcsolatokat) lehet számítani. Hotes javaslatára a hõmérsékletet pozitív, a fajlagos gõztartalmat pedig negatív elõjellel számítjuk.

Az 1963-as állapotegyenlet diskussziója

Az új gõz állapotegyenlet a régi, Koch-féle egyenletek megfelelõ járulékos tagokkal való bõvítésével állították elõ, mikor is a régebbi, négy állandót kibõvítették hattal. Ehhez nem kell további kommentárt hozzáfûzni. A gõzállapot határa s=5.581 kJ/kg,K entrópiáig, ami 106 bar nyomának felel meg, a felsõ határgörbétõl lefelé érvényes. A baloldali határ 5.443 kJ/kg,K és 500°C-ig, ezen túl pedig 500 bar nyomásig érvényes. A folyékony vízfázisra Tratz [7] dolgozott ki egy egyenletrendszert. Az alaprendszer a fajtérfogat számításához 16 állandót használ fel, egy meglehetõsen komplikált képlettel. Ezek azonban az entalpia és az entrópia kiszámításánál csak még komplikáltabbakká válnak. A képletek 1000 bar/350°C-ig használhatók. Megjegyzendõ, hogy az akkori iparban elterjedt számítógépeken, mint pl. az IBM 7040-es modellen, az állapotegyenleteket assembler kódban kellett programozni, hogy normális számítási idõt kapjunk. Egy KRAWAL számítás (méretezés és három részterhelés) kb. 5 percet vett igénybe.

Az IFC 1967-es állapotegyenlet

Ezt az állapotegyenlet rendszert az International Formulation Committee (IFC) tagjai együttmûködése alapján fejlesztették ki és szabványosították. A gõzállapot határa 350°C-ig és az ennek megfelelõ 165,4 bar telítési nyomásig a felsõ határgörbe. Ettõl a ponttól 1000 bar/590°C-ig egy görbe mentén megy fel, szinte függõlegesen az ún. L-görbe mentén. A továbbiakban az 1000 bar és a 800°C a felsõ határ. A vízállapot érvényességét az alsó határgörbétõl, valamint 1000 bar, 350°C határolja. Ezen felüli terület az úgynevezett 3 és 4 zónák alsó határa a 350°C-os izoterma, továbbá a fent említett L-görbe és az 1000 bar nyomáshatár. A víz és gõzállapotot az 1 és a 2 zóna definiálja. Az állapotegyenlet ezeket a zónákat a Gibbs-féle szabad entalpiával közelíti meg, melynek általános formája g(p,T), tehát a független változók, a nyomás és a hõmérséklet. Így a fajtérfogat, az entalpia és az entrópia is ezeknek a függvénye, aminek a közvetlen jótékony folyománya a gyakorlati számításoknál látható. A 3 és 4 zónákat a Helmholz-féle szabadenergiával számítják, mikoris az alapegyenletet az f(v,T) összefüggés képezi. Ezért a három alapváltozót elõször a nyomás szerinti iteratív eljárással kell meghatározni, végül az entalpia és az entrópia számítható. Szerencsére ezek a zónák a gyakorlatban szinte sohasem fordulnak elõ. A víz állapotegyenletének kiszámításához 35, a gõzhöz pedig 36 állandót kell figyelembe venni, ami a számítás gyorsítására további 11, illetve 7 újabb konstanssal bõvült. A telítési hõmérséklet 7-ed rendû polinomot igényel. Ez az állapotegyenlet rendszer eléggé hosszú számítási idõt eredményezett, így assemblerben programoztam. Sõt, késõbb is, mikor az asztali számítógépek elterjedtek, az assemblerben való programozás maradt. Csak a Windows-rendszer, valamint a gyors processzorok elterjedésével tértem rá a magasabb szintû, Visual Basic és Fortran nyelvek használatára. Megjegyzendõ, hogy 1967-tõl legalább harminc éven keresztül az európai gõzturbinák és körfolyamatok számításainál ezzel az IFC–67-es állapotegyenlet rendszerrel dolgoztak, sõt, azóta sem tért rá mindegyik cég az IAPWS–IF97-es rendszerre. A felsorolás végén egy összehasonlítás közlök, melyben a két rendszer numerikus összehasonlítását adom meg.

Az IAPWS–IF97-es állapotegyenlet

Ezt az állapotegyenletet szintén az „International Association for the Properties of Water and Steam” (IAPWS) tagjai fejlesztették ki, azzal, hogy az IFC–67-es rendszer bizonyos hiányosságokat mutat. Így a rendszer öt zónát különböztet meg:

Zóna 1: folyékony halmazállapot, 0-tól 350°C-ig, az alsó határ a telítési nyomás, a felsõ pedig 1000 bar. Az alapot a szabad hõtartalom a g(p,T) képezi, ebbõl vezethetõ le a megfelelõ termodinamikai összefüggések alapján a fajtérfogat, az entalpia és az entrópia, sõt a belsõ energia, a fajhõk és a hangsebesség. A számításhoz egy 34 tagból álló, nyomástól (32 fokú) és hõmérséklettõl (41 fokú) függõ hatványfüggvényt használ fel. Ugyanebben a zónában megadja a T(p,h) és T(p,s) inverz-függvényeket is, melyek csak 20 tagból állnak, a nyomástól egy hatosfokú, a hõmérséklettõl egy 32-ed fokú hatványfüggvénnyel. A zóna 1 számításához 222 állandót kell figyelembe venni.

Zóna 2: gõzhalmazállapot, 0-tól 800°C-ig és 1000 bárig érvényes. A felsõ hõmérséklethatár 350°C-ig a telítési hõmérséklet, ezen felül egy nagyjából izentrópikus görbe az 5.047 és 5.261 kJ/kg,K közötti szakaszon. Az alap szintén a szabad entalpia függvénye, ugyanúgy, mint az elõbbi zóna 1 esetében. A számításhoz két polinomot használ fel: az elsõ csak a hõmérséklet függvénye 5-ik fokon, a második pedig 43 tagból áll, amelyben a nyomás a 24-ik hatványon, a hõmérséklet pedig a maximális 58-ik hatványon fordul elõ. Az inverz függvények három alzónára oszlanak: 2a. alzóna 40 barig, a 2b. alzóna s=5.85 kJ/kg,K-ig, a 2c. alzóna pedig e felett a 2-es fõzóna határáig érvényesek. Az egyes alzónák képletei még sokkal komplikáltabbak és hosszabbak, mint az eredeti képlet. A zóna 2 számításához 838 állandót kell figyelembe venni.

Zóna 3: az 1 és 2 zóna közé esõ terület, mely a szabad energiát adja meg az f(v,T) függvénykapcsolat szerint. Ennek a használata nagyon ritka, az én, több mint négy évtizedes gyakorlatomban még sohasem fordult elõ. A gyakorlati számításoknál elõször az adott nyomást kell iteratív módszerrel meghatározni, majd ebbõl az entalpiát és az entrópiát. Ennek a zónának a leírását a továbbiakban nem taglaljuk. A zóna 3 számításához 120 állandót kell figyelembe venni.

Zóna 4: tartalmazza a nyomás és telítési hõmérséklet egymástól való függését. Egy vegyes másodfokú tagokból álló egyenlet kapcsolja össze a két paramétert, melybõl mindkettõ a másikra megoldható. Közvetlenül számítható iteráció nélkül a T_s=T(p), illetve p_s=(T_s) függvénykapcsolat. Ez az egyenletrendszer az IAPWS–IF97-es rendszer legfõbb eredménye. A telítési függvények számításához 10 állandó szükséges.

Zóna 5: a 800°C-tól 2000°C-ig, és 100 bárig terjedõ, nem disszociált, tiszta H₂O-ra vonatkozó állapotokat írja le, a Gibbs-féle szabad entalpia függvényében. Ennek a zónának a gyakorlati alkalmazása jelenleg még nem aktuális. A 5. zóna számításához 27 állandó szükséges.

Az IFC-67 és az IAPWS–IF97 egyenletek összehasonlítása

Mivel mindkét állapotegyenletet programoztam, rendelkezésemre állt egy összehasonlító program készítése. Mindkettõ a Visual Basic 6, valamint a FORTRAN programozási nyelveken készült. A továbbiakban a VB6 nyelvû eredményeket közlöm, mivel ezek adják meg az IAPWS-IF97 számára a legjobb összehasonlító eredményeket. A FORTRAN-program hasonló eredménnyel zárul (1. táblázat).

Illusztrációként legyen itt még néhány összehasonlító adat a számított állapotjelzõ értékekrõl, az IAPWS–IF97 és az IFC–67 kódok idõigényérõl (2. táblázat).

Irodalom

[1] Bosnjakovic: Technische Thermodynamik, dritte Auflage, 120–123 oldal.

[2] Dr.-Ing. We. Koch: VDI-Wasserdampftafel, dritte Auflage, 1952.

[3] Dr.-Ing. H. Hotes: Gleichungen und Rechenverfahren zur Bestimmung der Zustandsgrößen von Wasserdampf und Wasser auf digitalen Rechenautomaten Allgemeine Wärmetechnik, Heft 11/12 (1959) Seiten 233/252

[4] Prof. Dr.-Ing. habil. E. Schmidt: VDI-Wasserdampftafel, sechste Ausgabe,1963.

[5] The 1967 IFC Formulation for Industrial Use, Prepared by then Internatiónal Formulation Commitee (IFC), February 1967

[6] W. Wagner – A. Kruse: Properties of Water and Steam, The Industrial Standard IAPWS–IF97 ...

[7] H. Tratz: Neue Zustandsgleichungen für flüssiges Wasser und eine Gleichung der Dampfdruckkurve, Brennstoff-Wärme-Kraft 14 (1962) 379/383 és 504

Az [5] és [6] referenciákhoz a Nemzetközi Gõztáblázatok több kiadása létezik.