Sztochasztikus modellezés az energetikában

Dr. Gerd Infanger munkája alapján: Dr. Németh Imre

A szerzõ Gerd Infanger professzor munkássága alapján egy egyszerû példán mutatja be a sztochasztikus modellezés energetikai alkalmazásának lehetõségét, összevetve ugyanezen modell determinisztikus (LP) megoldásával.

The author presents the applicability of the stochastic modeling to the energetics, based on the works of professor Gerd Infanger, using a simplified exemple. The article gives a comparison to the deterministic (LP) solution as well.

A modell szerkezete

Tételezzünk fel egy egyszerû igény tartamdiagramot, amelyet egy három lépcsõs egyenessel közelítünk (1. ábra). A befoglaló téglatestek magassága a várható igény valószínûségi változónak tekinthetõ. A téglalapok szélessége az idõtartamok hossza konstans érték (pl. 1 óra, az intervallum hossza tetszés szerint választható).

Az igényeket három erõmûtípussal kívánjuk ellátni, amelyek összesített kiépítési nagyságát kívánjuk biztonsággal meghatározni, figyelembe véve az egyes erõmû típusok beruházásából eredõ éves állandó költségeket, az üzemeltetés költségét, a szükséges karbantartással összefüggõ rendelkezésre állást. Az erõmû üzemállapota valószínûségi változó.

Az erõmû típusok jellemzõit az 1. táblázatban foglaltuk össze.

1. táblázat

Az erõmûtípusok jellemzõi

Az erõmû üzemeltetési költségeit egyenessel adtuk meg (E Ft/MWh)

Fontos kiegészítõ adat a ki nem elégített villamos energia igénybõl származó kár becslése, vagy helyette az azonnali áron (SPOT) beszerezhetõ villamos energia ára. Jelen feladatnál 300 E Ft/MWh kárértékkel mint becsült fajlagossal számolunk mindhárom terhelési zónában. A feladat feltételi egyenletei determinisztikus modellként az alábbiak szerint írható fel.

A célfüggvény a teljes felmerülõ költség minimuma:

TCOST = Ó x(g)·c(g)+Ó Ó y(g,td)·k+
Ó us(td)·s(td) MIN !       (1)

ahol:

• x(g) a g típusú erõmû kiépítési nagysága, MW,
• c(g) órás állandó költség (tartalmazza az amortizációt),
• y(g, td) a g típusú erõmû termelése, MWh,
• k a fajlagos termelési költség, E Ft/MWh,
• us(td) a ki nem elégített igény, MW,
• s(td) a kielégítetlen igény fajlagos kárértéke, E Ft/MW,
• td a terhelési intervallum (t1, t2, t3),
• g erõmû típus.

A feltételi egyenletek az alábbiak:

• a kiépíthetõ kapacitás korlátja (2),
• a termelési korlátok (3),
• az igények ellátásának biztosítása (4).

CCMIN(g) x(g)  CCMAX(g) ….     (2)

y(g, td) < x(g) · á(g) …..     (3)

Óy(g, td) >= IG (td) …..     (4)

A feladat lényeges részét képezi a sztochasztikus modell második lépcsõjéhez tartozó valószínûségi változók és diszkrét eloszlási függvényeik megadása. A megoldó program – Gerd Infanger által kidolgozott DECIS nevû programcsomag –, a GAMS magas szintû programozási nyelv eljárásainak körébe tartozó meghívható módszer. A megoldás menete két fázisból áll, egy determinisztikus (hagyományos LP), és a megadott valószínûségi változókra épülõ sztochasztikus lineáris modell megoldásának összesítésébõl. A megoldó eljárás lényegében a hasonló feladatokra kidolgozott Dantzig-Wolfe módszer logikáját követi. A valószínûségi változókhoz kapcsolt értékek (p) kiválasztásával és behelyettesítésével felálló nagyméretû egyenletrendszer megoldásával adja meg a várható (javasolt) értéket.

A DECIS program matematikai alapjai

A DECIS program a futtatása során a lineáris sztochasztikus egyenlõtlenség-rendszer megoldására az általunk is ismert CPLEX és MINOS eljárásokat alkalmazza. A megoldás annál megbízhatóbb, minél részletesebben (eloszlások sok diszkrét pontjának megadásával) írjuk le a feladatot. A bemutatásra kerülõ példánkban – tekintettel arra, hogy a DECIS alkalmazási licencével nem rendelkezünk – csak a „demó verzió” által biztosított minimális számú pontot adhatjuk meg, amely a pontosságot jelentõs mértékben rontotta.

Mi a DECIS megoldó eljárás lényege: A DECIS eljárás egy két lépcsõs sztochasztikus lineáris programozási módszer. Célfüggvénye általános formában az alábbi:

MIN z = c·x + E^w·f^w·y^w

ahol: x az elsõ un. determinisztikus lépcsõ változóját jelöli,

y a második sztohasztikus LP modell változója,

f^w a második lépcsõ célfüggvény együtthatói ,

Az elsõ fázis feltételi egyenletei:

A·x = b, x >= 0 ,

Az A mátrix és b vektor a diszkrét megoldáshoz tartozó állandók.

A második fázis egyenletei általános formában:

B^w·x + D^w·y^w = d^w, y^w> =0,  w e  

ahol:

–B^w az ún. kapcsoló mátrix , amely összeköti a két fázist,

D^w a technológiai mátrix vagy rekurzív mátrix,

d^w az y változó kimeneti értékének valószínûsége.

Amíg az elsõ fázis állandói konstans értékek, a második lépcsõhöz tartozó együtthatók valószínûségi változók, az w változó függvényei, amely p(w) diszkrét valószínûségi értékkel fordulnak elõ. jelöli a teljes eseményteret.

A valószínûségi változók adott kimeneti értékét, mint diszkrét értéket tekintve, a sztochasztikus lineáris programozási feladatot reprezentálhatja egy ekvivalens determinisztikus lineáris programozási feladat. Ennek általános alakja:

MIN     z = c·x + p¹·f·y¹ +p²·f·y²+ … +p^w·f·y^w

A·x     = b

–B¹·x +D·y¹     =d¹

–B²·x +D·y²     =d²

…     …..

–B^w·x … +D·y^w     =d^w

ahol y sztochasztikus változó együtthatói az egyes valószínûségi értékhez tartozó kimenõ értékek.

Az esetek jelentõs részénél a w számossága 10⁶ nagyságrendû is lehet, ezáltal a megoldandó lineáris egyenletrendszer méretei is elérhetik a 10¹⁰ elemszámot is, ami nehezíti a megoldást. Ilyen eseteknél alkalmazza a DECIS program az ún. Benders féle dekompenzációs eljárást.

Alkalmazási példa

Az (1)–(4) egyenletekkel meghatározott feladatot két változatban vizsgáltuk, az elsõként a hagyományos „determinisztikus” LP feladat keretében, a második esetben az egyes kiválasztott változóknak (pl. igény, erõmûvek KK-ja) mint valószínûségi változónak a figyelembe vételével a DECIS eljárást alkalmazva. A felvett 6300, 5300 és 4300 MW átlagos igényt diszkrét eloszlású változóként kezelve a 95%-os biztonsághoz tartozó szükséges kapacitások nagyságára két lényegesen eltérõ eredményt kaptunk.

Az 1. változat futási eredménye fõként a gazdaságos értékekkel rendelkezõ „g1” erõmûtípus igénybevételét tervezi.

A sztochasztikus modell (2. változat) az ellátás 95%-os biztonságát feltételezve a drágább „g2, g3” erõmûcsoportok kiépítésével is számol. Ez az eredmény azért is figyelmet érdemel, mert az egyes típusok kiépítési nagyságát nem korlátoztuk be, mindegyiknél maximum 50000 MW felsõhatárt adtunk meg. Ugyanakkor a típus kiesése mivel egyként kezeli a modell egyszerre történik meg.

A két változat eredményeinek összehasonlítását a táblázat tartalmazza.

Látható, hogy a valószínûségi változókkal számoló modell a becsült 6300 MW várható csúcsigény 95% biztonságú ellátásához lényegesen nagyobb tartalék kapacitást irányzott elõ, mint a determinisztikus értékekkel dolgozó hagyományos LP modell.

Összefoglalás

A bemutatott példa elsõdleges célja a tervezési módszertan fejlesztési irányának bemutatása. A DECIS demó verziója nem tette lehetõvé alaposabb, nagyobb méretû feladaton történõ vizsgálat végrehajtását. A kapott eredmények alapján, az eljárás azon elõnyeire és lehetõségeire kívántunk rámutatni, hogy olyan esetekben, amikor a tartalék nagyságát a rendszer teljes komplexitásában kell vizsgálni (a „minden mindennel összefügg” elv alapján) szemben a korábbi hasonló vizsgálatokkal, amikor csak parciálisan vagy a blokkok KK-ját vagy az igény hatását külön vizsgáltuk, ez a módszer teljesebb képet ad a kérdés megoldására és egyben a várható fõ problémát a ki nem elégíthetõ igény nagyságát is érzékelhetõvé teszi.